{"id":540,"date":"2025-08-18T01:07:07","date_gmt":"2025-08-17T23:07:07","guid":{"rendered":"https:\/\/mathieuducros.com\/blog\/la-sequence-de-fibonacci-et-le-rapport-dore\/"},"modified":"2025-08-18T01:07:07","modified_gmt":"2025-08-17T23:07:07","slug":"la-sequence-de-fibonacci-et-le-rapport-dore","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathieuducros.com\/blog\/la-sequence-de-fibonacci-et-le-rapport-dore\/","title":{"rendered":"La s\u00e9quence de Fibonacci et le rapport dor\u00e9"},"content":{"rendered":"<div>\n<div itemprop=\"text\">\n<p><iframe allow=\"autoplay *; encrypted-media *; fullscreen *; clipboard-write\" frameborder=\"0\" height=\"175\" style=\"width:100%;max-width:1200px;overflow:hidden;border-radius:10px;\" sandbox=\"allow-forms allow-popups allow-same-origin allow-scripts allow-storage-access-by-user-activation allow-top-navigation-by-user-activation\" src=\"https:\/\/embed.podcasts.apple.com\/us\/podcast\/the-fibonacci-sequence-and-the-golden-ratio\/id1521870190?i=1000721785800\"><\/iframe><\/p>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#d6d405;font-size:20px\"><strong>S&rsquo;abonner <\/strong><br \/><strong>Apple | Spotify<\/strong> | <strong>Amazone<\/strong> |<strong> radio iheart<\/strong> | <strong>Bo\u00eete \u00e0 fonds<\/strong> | <strong>R\u00e9publique du podcast<\/strong> | <strong>RSS<\/strong> | <strong>Patreon<\/strong> | <strong>Discorde<\/strong> | <strong>Facebook<\/strong><\/p>\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\">\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-podcast-transcript\">Transcription du podcast<\/h2>\n<p>Deux des concepts les plus importants qui peuvent \u00eatre trouv\u00e9s dans le monde des math\u00e9matiques et de la nature sont la s\u00e9quence Fibonacci et le rapport dor\u00e9.<\/p>\n<p>Ces deux concepts semblent s\u00e9par\u00e9s, mais ils sont en fait \u00e9troitement li\u00e9s. <\/p>\n<p>Bien qu&rsquo;ils soient connus depuis le monde antique, ils sont toujours tr\u00e8s pertinents aujourd&rsquo;hui et peuvent \u00eatre trouv\u00e9s presque partout. <\/p>\n<p>Mieux encore, malgr\u00e9 les concepts math\u00e9matiques importants, ils sont \u00e9galement parmi les plus faciles \u00e0 comprendre.<\/p>\n<p>En savoir plus sur la s\u00e9quence Fibonacci et le ratio d&rsquo;or, ce qu&rsquo;ils sont, et comment ils ont \u00e9t\u00e9 d\u00e9couverts sur cet \u00e9pisode de tout le monde partout quotidiennement.<\/p>\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\">\n<p>Avant d&rsquo;entrer dans l&rsquo;histoire et les applications de la s\u00e9quence Fibonacci et du rapport dor\u00e9, je devrais probablement expliquer ce qu&rsquo;ils sont, car ils sont faciles \u00e0 comprendre.<\/p>\n<p>La s\u00e9quence Fibonacci est form\u00e9e en commen\u00e7ant par 0 et 1, puis en ajoutant chaque paire de num\u00e9ros pr\u00e9c\u00e9dents pour obtenir le suivant. <\/p>\n<p>Donc 0 + 1 est 1<\/p>\n<p>1 + 1 est 2<\/p>\n<p>2 + 1 est 3<\/p>\n<p>3 + 2 est 5<\/p>\n<p>5+ 3 est 8<\/p>\n<p>Vous pouvez continuer \u00e0 le faire pour toujours, en ajoutant simplement les deux derniers nombres ensemble. <\/p>\n<p>13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, etc. <\/p>\n<p>C&rsquo;est tout ce qu&rsquo;il y a. Tout enfant qui conna\u00eet l&rsquo;ajout de base peut calculer la s\u00e9quence de Fibonacci.<\/p>\n<p>Le rapport dor\u00e9 est un nombre irrationnel qui est proche de 1,6180339887\u2026.<\/p>\n<p>Un simple ajout et un nombre irrationnel ne semblent gu\u00e8re avoir quelque chose en commun, mais comme nous le verrons, ils le font. <\/p>\n<p>La relation math\u00e9matique que nous appelons maintenant le ratio d&rsquo;or \u00e9tait en fait connue des civilisations anciennes bien avant la naissance de Fibonacci. Les Grecs anciens, en particulier vers le 5\u00e8me si\u00e8cle avant JC, \u00e9taient profond\u00e9ment fascin\u00e9s par ce qu&rsquo;ils ont appel\u00e9 la \u00abproportion divine\u00bb. <\/p>\n<p>Ils ont remarqu\u00e9 que lorsque vous divisez un segment de ligne en deux parties de telle sorte que le rapport de la ligne enti\u00e8re \u00e0 la partie plus longue est \u00e9gal au rapport de la partie plus longue \u00e0 la partie la plus courte, vous obtenez un nombre sp\u00e9cial \u2013 environ 1,618.<\/p>\n<p>Le mod\u00e8le de chiffres que nous appelons maintenant la s\u00e9quence Fibonacci appara\u00eet dans les math\u00e9matiques indiennes d\u00e8s le 6\u00e8me si\u00e8cle. Les \u00e9rudits indiens \u00e9tudiaient <em>prosodie<\/em>la disposition des syllabes dans la po\u00e9sie sanscrit, et a d\u00e9couvert que le nombre de motifs rythmiques possibles pour une longueur donn\u00e9e a suivi cette s\u00e9quence. Le math\u00e9maticien <em>Virahanka<\/em> d\u00e9crit le mod\u00e8le, et plus tard des universitaires tels que <em>Gop? La<\/em> et <em>Hemachandra<\/em> \u00e9tendu dessus.<\/p>\n<p>Les premiers math\u00e9maticiens islamiques ont ensuite rencontr\u00e9 le mod\u00e8le \u00e0 travers les traductions des \u0153uvres math\u00e9matiques indiennes pendant le califat abbaside, en particulier du 8e au XIe si\u00e8cle, lorsque la maison de la sagesse de Bagdad est devenue un centre d&rsquo;\u00e9change universitaire.<\/p>\n<p>Des documents indiens, tels que ceux d\u00e9crivant les travaux de Virahanka, ont \u00e9t\u00e9 traduits en arabe, o\u00f9 des chercheurs comme Al-Khalil Ibn Ahmad et plus tard Abu Kamil ont appliqu\u00e9 des principes d&rsquo;additifs similaires aux probl\u00e8mes d&rsquo;alg\u00e8bre, de g\u00e9om\u00e9trie et de combinatoire. <\/p>\n<p>Bien qu&rsquo;ils n&rsquo;aient pas utilis\u00e9 la s\u00e9quence sous la m\u00eame forme stylis\u00e9e et ne l&rsquo;ont pas nomm\u00e9, ces math\u00e9maticiens ont conserv\u00e9 et \u00e9tendu la relation sous-jacente de r\u00e9cidive, l&rsquo;int\u00e9grant dans des \u00e9tudes plus larges sur les progressions arithm\u00e9tiques, les mod\u00e8les de nombres et les calculs pratiques.<\/p>\n<p>L&rsquo;homme dont la s\u00e9quence porte le nom est Leonardo de Pise, qui est plus commun\u00e9ment appel\u00e9 Fibonacci. <\/p>\n<p>Fibonacci est une forme raccourcie de la phrase italienne <em>Filius Bonacci<\/em>signifiant \u00abfils de Bonacci\u00bb. <\/p>\n<p>Fibonacci a pr\u00e9sent\u00e9 la s\u00e9quence des math\u00e9matiques occidentales dans son livre 1202 <em>Liber Abaci<\/em> ou \u00able livre du calcul\u00bb. L&rsquo;objectif principal de l&rsquo;\u0153uvre \u00e9tait de populariser le syst\u00e8me num\u00e9rique hindou-arabique en Europe, que j&rsquo;ai couvert dans un \u00e9pisode pr\u00e9c\u00e9dent, mais il contenait \u00e9galement une grande vari\u00e9t\u00e9 de probl\u00e8mes math\u00e9matiques.<\/p>\n<p>L&rsquo;un d&rsquo;eux \u00e9tait un puzzle d\u00e9sormais c\u00e9l\u00e8bre sur les populations de lapins. <\/p>\n<p>Voici comment Fibonacci a abord\u00e9 son c\u00e9l\u00e8bre probl\u00e8me de lapin: Supposons que vous commencez avec une paire de lapins nouveau-n\u00e9s. Chaque mois, chaque paire mature produit une nouvelle paire de lapins. Les lapins m\u00fbrissent apr\u00e8s un mois, ils peuvent donc se reproduire \u00e0 partir de leur deuxi\u00e8me mois de vie. Combien de paires de lapins aurez-vous apr\u00e8s plusieurs mois?<\/p>\n<p>Au mois 1, vous avez 1 paire (nouveau-n\u00e9s). Au cours du mois 2, vous avez encore 1 paire (ils ne sont pas encore matures). Au cours du mois 3, votre paire d&rsquo;origine produit une prog\u00e9niture, vous avez donc 2 paires. Au mois 4, la paire originale produit un autre ensemble de descendants, et la paire n\u00e9e au mois 3 est maintenant mature, vous avez donc 3 paires. Pouvez-vous voir le mod\u00e8le \u00e9merger?<\/p>\n<p>La s\u00e9quence va: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144\u2026 chaque nombre est la somme des deux nombres pr\u00e9c\u00e9dents. Cela est devenu connu sous le nom de s\u00e9quence Fibonacci.<\/p>\n<p>Pendant des si\u00e8cles, la s\u00e9quence n&rsquo;\u00e9tait gu\u00e8re plus qu&rsquo;une curiosit\u00e9 dans la th\u00e9orie des nombres. Il a d&rsquo;abord \u00e9t\u00e9 appel\u00e9 \u00abla s\u00e9quence de Fibonacci\u00bb au 19e si\u00e8cle par le math\u00e9maticien fran\u00e7ais \u00c9douard Lucas, qui a \u00e9tudi\u00e9 ses propri\u00e9t\u00e9s en profondeur. <\/p>\n<p>Juste avant de dire que la s\u00e9quence de Fibonacci \u00e9tait li\u00e9e, fortement li\u00e9e, au ratio d&rsquo;or. <\/p>\n<p>Comment \u00e7a va?<\/p>\n<p>C&rsquo;\u00e9tait une relation que Fibonacci lui-m\u00eame ne r\u00e9alisait m\u00eame pas. <\/p>\n<p>Si vous prenez un num\u00e9ro Fibonacci et le divisez par le num\u00e9ro Fibonacci pr\u00e9c\u00e9dent, vous obtenez un rapport. Essayons ceci: 13 divis\u00e9 par 8 \u00e9quivaut \u00e0 1,625. Essayez maintenant 21 divis\u00e9 par 13, ce qui \u00e9quivaut \u00e0 environ 1,615. Continuez: 55 divis\u00e9 par 34 \u00e9quivaut \u00e0 environ 1,618. <\/p>\n<p>Vous voyez ce qui se passe? <\/p>\n<p>\u00c0 mesure que les chiffres Fibonacci deviennent plus grands, ces ratios se rapprochent de plus en plus du ratio d&rsquo;or!<\/p>\n<p>Ou pour le dire autrement, \u00e0 mesure que la s\u00e9quence de Fibonacci se d\u00e9veloppe \u00e0 l&rsquo;infini, le rapport converge sur le rapport dor\u00e9.<\/p>\n<p>Le terme \u00abratio d&rsquo;or\u00bb lui-m\u00eame est relativement moderne. Les anciens Grecs l&rsquo;appelaient divers noms, mais le terme sp\u00e9cifique \u00abSectio Aurea\u00bb ou Golden Section a \u00e9t\u00e9 utilis\u00e9 pour la premi\u00e8re fois par le math\u00e9maticien Martin Ohm en 1835. <\/p>\n<p>La lettre grecque? (PHI), utilis\u00e9 pour repr\u00e9senter le ratio d&rsquo;or, a \u00e9t\u00e9 choisi par le math\u00e9maticien am\u00e9ricain Mark Barr au d\u00e9but des ann\u00e9es 1900, probablement en l&rsquo;honneur du sculpteur grec Phidias, qui a utilis\u00e9 cette proportion dans ses \u0153uvres.<\/p>\n<p>Il s&rsquo;est av\u00e9r\u00e9 qu&rsquo;il y a plus que le rapport dor\u00e9 et la s\u00e9quence de Fibonacci. Il y a aussi quelque chose appel\u00e9 l&rsquo;angle dor\u00e9.<\/p>\n<p>L&rsquo;angle dor\u00e9 est le plus petit des deux angles qui divisent un cercle selon le rapport dor\u00e9. Si vous prenez un cercle complet (360 \u00b0) et que vous le divisez de sorte que le rapport de l&rsquo;arc plus grand \u00e0 l&rsquo;arc plus petit soit le m\u00eame que le rapport de l&rsquo;ensemble du cercle \u00e0 l&rsquo;arc plus grand, l&rsquo;arc plus petit mesure environ 137,5 \u00b0. <\/p>\n<p>Le grand math\u00e9maticien Blaise Pascal a cr\u00e9\u00e9 le triangle de Pascal, qui est bas\u00e9 sur la s\u00e9quence de Fibonacci. <\/p>\n<p>Le triangle de Pascal est un arrangement triangulaire des nombres o\u00f9 chaque nombre est la somme des deux nombres directement au-dessus dans la ligne pr\u00e9c\u00e9dente. Il commence par un seul 1 en haut, puis continue avec des rang\u00e9es comme 1 1, puis 1 2 1, puis 1 3 3 1, et ainsi de suite. Chaque ligne correspond aux coefficients dans l&rsquo;expansion binomiale de (a + b)?, En faisant un outil fondamental dans la combinatoire et la th\u00e9orie de la probabilit\u00e9. <\/p>\n<p>Ce qui \u00e9tait une curiosit\u00e9 math\u00e9matique est devenu quelque chose de beaucoup plus lorsque les gens ont commenc\u00e9 \u00e0 voir ces chiffres dans la nature. En fait, ils sont apparus <em>partout<\/em> dans la nature. <\/p>\n<p>La s\u00e9quence de Fibonacci appara\u00eet si souvent dans la nature car elle \u00e9merge naturellement des processus de croissance et d&#8217;emballage efficace. Dans de nombreuses plantes et structures biologiques, la croissance se produit en ajoutant de nouveaux \u00e9l\u00e9ments, tels que les feuilles, les graines ou les p\u00e9tales, d&rsquo;une mani\u00e8re qui maximise l&rsquo;acc\u00e8s \u00e0 des ressources comme la lumi\u00e8re du soleil ou l&rsquo;espace. <\/p>\n<p>Si chaque nouvel \u00e9l\u00e9ment est plac\u00e9 \u00e0 un angle constant par rapport \u00e0 celui pr\u00e9c\u00e9dent, souvent pr\u00e8s de l&rsquo;angle dor\u00e9 d&rsquo;environ 137,5 \u00b0, au fil du temps, le mod\u00e8le de leur arrangement produit des comptes qui correspondent aux nombres de Fibonacci.<\/p>\n<p>De nombreuses fleurs ont un certain nombre de p\u00e9tales qui sont un num\u00e9ro de Fibonacci. Par exemple, les lys ont 3 p\u00e9tales, les renoncules ont 5, la chicor\u00e9e en a 21 et les marguerites peuvent avoir 34, 55 ou m\u00eame 89 p\u00e9tales. Cet arrangement optimise souvent l&rsquo;exposition au soleil pour chaque p\u00e9tale.<\/p>\n<p>Les motifs en spirale dans les t\u00eates de graines de tournesol et les \u00e9cailles de c\u00f4ne de pin suivent les nombres de Fibonacci. Si vous comptez les spirales incurv\u00e9es dans une direction, puis dans l&rsquo;autre, vous obtiendrez souvent deux num\u00e9ros de Fibonacci cons\u00e9cutifs. Cet emballage maximise le nombre de graines ou d&rsquo;\u00e9cailles dans une zone donn\u00e9e sans gaspillage d&rsquo;espace.<\/p>\n<p>Le brocoli roman affiche un exemple frappant, avec des spirales dans ses fleurons apr\u00e8s des nombres de Fibonacci \u00e0 plusieurs \u00e9chelles. Des arrangements en spirale similaires apparaissent dans les ananas.<\/p>\n<p>Le sch\u00e9ma des branches et des feuilles sur de nombreuses plantes suit les r\u00e8gles de Fibonacci, car une nouvelle croissance appara\u00eet souvent sous des angles qui se rapprochent de l&rsquo;angle dor\u00e9. Cet arrangement minimise le chevauchement entre les feuilles, maximisant la quantit\u00e9 de capture du soleil.<\/p>\n<p>Certains coquilles, comme le Nautilus, poussent dans une spirale logarithmique qui se rapporte au rapport dor\u00e9. M\u00eame la spirale de la queue d&rsquo;un cam\u00e9l\u00e9on ou les cornes de certains moutons suivent des proportions de croissance similaires.<\/p>\n<p>M\u00eame dans les choses non vivantes, il existe des preuves de cette relation. <\/p>\n<p>Des spirales \u00e0 grande \u00e9chelle dans la nature, telles que les bandes de nuages d&rsquo;ouragan et les galaxies en spirale comme la Voie lact\u00e9e, suivent souvent des spirales logarithmiques li\u00e9es au rapport dor\u00e9. Cette forme permet une structure auto-similaire \u00e0 diff\u00e9rentes \u00e9chelles.<\/p>\n<p>Il ne devrait pas surprendre que les Grecs anciens aient trouv\u00e9 la \u00abproportion divine\u00bb si esth\u00e9tiquement attrayante. <\/p>\n<p>\u00abLes psychologues et les chercheurs de vision sugg\u00e8rent que cet attrait peut provenir de la fa\u00e7on dont le rapport appara\u00eet sous des formes naturelles, ce qui le rend familier \u00e0 notre perception visuelle. Il a un \u00e9quilibre entre la monotonie de la sym\u00e9trie parfaite et le chaos des proportions irr\u00e9guli\u00e8res.<\/p>\n<p>Dans l&rsquo;art, le rapport dor\u00e9 a \u00e9t\u00e9 utilis\u00e9, parfois d\u00e9lib\u00e9r\u00e9ment, parfois par co\u00efncidence, pour cr\u00e9er des compositions avec un sentiment d&rsquo;harmonie naturelle. <\/p>\n<p>Le Parth\u00e9non \u00e0 Ath\u00e8nes est souvent cit\u00e9 pour ses proportions de fa\u00e7ade. <\/p>\n<p>Dans l&rsquo;\u00e9clairage du manuscrit m\u00e9di\u00e9val et de la Renaissance, les dispositions de page et les fronti\u00e8res d\u00e9coratives refl\u00e9taient souvent des proportions proches du ratio d&rsquo;or, m\u00eame si les artistes ne l&rsquo;ont pas consciemment calcul\u00e9. <\/p>\n<p>Des artistes de la Renaissance comme Leonardo da Vinci ont explor\u00e9 le rapport dans des \u0153uvres telles que <em>Vitruvien<\/em> Et peut-\u00eatre dans <em>Le dernier souper<\/em> pour positionner les \u00e9l\u00e9ments cl\u00e9s. <\/p>\n<p>Sandro Botticelli&rsquo;s <em>La naissance de V\u00e9nus<\/em> Contient le placement et l&rsquo;espacement des figures qui approximativement des rectangles dor\u00e9s. <\/p>\n<p>Dans l&rsquo;architecture, la fa\u00e7ade de la cath\u00e9drale de Notre-Dame \u00e0 Paris et les proportions de la grande mosqu\u00e9e de Kairouan montrent des relations proches du rapport.<\/p>\n<p>Les architectes modernes tels que Le Corbusier l&rsquo;ont incorpor\u00e9 dans les conceptions de b\u00e2timents pour agr\u00e9ger les relations spatiales, et les photographes encadrent souvent des sujets utilisant des divisions bas\u00e9es sur le rapport dor\u00e9 pour guider l&rsquo;\u0153il du spectateur.<\/p>\n<p>Au 20e si\u00e8cle, Salvador Dal\u00ed a con\u00e7u sa peinture <em>Le sacrement de la derni\u00e8re souper<\/em> Dans un rectangle dor\u00e9, alignant la figure centrale et la g\u00e9om\u00e9trie de la composition sur le rapport. <\/p>\n<p>M\u00eame les \u0153uvres musicales, telles que les compositions de B\u00e9la Bart\u00f3k, sont structur\u00e9es de sorte que les moments culminants tombent \u00e0 des points de rapport dor\u00e9 dans le temps. <\/p>\n<p>La chanson de 2001 lat\u00e9rale par l&rsquo;outil du groupe \u00e9tait bas\u00e9e sur la s\u00e9quence de Fibonacci, et elle a \u00e9t\u00e9 nomm\u00e9e la meilleure chanson du heavy metal du 21e si\u00e8cle.<\/p>\n<p>Aujourd&rsquo;hui, la s\u00e9quence de Fibonacci est \u00e9tudi\u00e9e dans la th\u00e9orie des nombres, la combinatoire, les algorithmes informatiques et la mod\u00e9lisation math\u00e9matique, mais il sert \u00e9galement de symbole culturel de la beaut\u00e9 math\u00e9matique et de la forme naturelle.<\/p>\n<p>C&rsquo;est peut-\u00eatre aussi le meilleur exemple de la fa\u00e7on dont les math\u00e9matiques ne sont pas seulement quelque chose qui existe dans l&rsquo;abstrait ou en th\u00e9orie. La s\u00e9quence de Fibonacci, le rapport dor\u00e9 et l&rsquo;angle d&rsquo;or sont tous des concepts math\u00e9matiques que nous pouvons voir int\u00e9gr\u00e9s dans le monde m\u00eame qui nous entoure.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p><!-- no image -->Pour vous, cet article autour du th\u00e8me \u00ab\u00a0Photographe \/ Directeur de projet\u00a0\u00bb vous est propos\u00e9 par mathieuducros.com. La chronique se veut produite du mieux possible. Pour \u00e9mettre des observations sur ce document autour du sujet \u00ab\u00a0Photographe \/ Directeur de projet\u00a0\u00bb prenez les coordonn\u00e9es indiqu\u00e9es sur notre site internet. 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