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Transcription du podcast

Deux des concepts les plus importants qui peuvent être trouvés dans le monde des mathématiques et de la nature sont la séquence Fibonacci et le rapport doré.

Ces deux concepts semblent séparés, mais ils sont en fait étroitement liés.

Bien qu’ils soient connus depuis le monde antique, ils sont toujours très pertinents aujourd’hui et peuvent être trouvés presque partout.

Mieux encore, malgré les concepts mathématiques importants, ils sont également parmi les plus faciles à comprendre.

En savoir plus sur la séquence Fibonacci et le ratio d’or, ce qu’ils sont, et comment ils ont été découverts sur cet épisode de tout le monde partout quotidiennement.

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Avant d’entrer dans l’histoire et les applications de la séquence Fibonacci et du rapport doré, je devrais probablement expliquer ce qu’ils sont, car ils sont faciles à comprendre.

La séquence Fibonacci est formée en commençant par 0 et 1, puis en ajoutant chaque paire de numéros précédents pour obtenir le suivant.

Donc 0 + 1 est 1

1 + 1 est 2

2 + 1 est 3

3 + 2 est 5

5+ 3 est 8

Vous pouvez continuer à le faire pour toujours, en ajoutant simplement les deux derniers nombres ensemble.

13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, etc.

C’est tout ce qu’il y a. Tout enfant qui connaît l’ajout de base peut calculer la séquence de Fibonacci.

Le rapport doré est un nombre irrationnel qui est proche de 1,6180339887….

Un simple ajout et un nombre irrationnel ne semblent guère avoir quelque chose en commun, mais comme nous le verrons, ils le font.

La relation mathématique que nous appelons maintenant le ratio d’or était en fait connue des civilisations anciennes bien avant la naissance de Fibonacci. Les Grecs anciens, en particulier vers le 5ème siècle avant JC, étaient profondément fascinés par ce qu’ils ont appelé la «proportion divine».

Ils ont remarqué que lorsque vous divisez un segment de ligne en deux parties de telle sorte que le rapport de la ligne entière à la partie plus longue est égal au rapport de la partie plus longue à la partie la plus courte, vous obtenez un nombre spécial – environ 1,618.

Le modèle de chiffres que nous appelons maintenant la séquence Fibonacci apparaît dans les mathématiques indiennes dès le 6ème siècle. Les érudits indiens étudiaient prosodiela disposition des syllabes dans la poésie sanscrit, et a découvert que le nombre de motifs rythmiques possibles pour une longueur donnée a suivi cette séquence. Le mathématicien Virahanka décrit le modèle, et plus tard des universitaires tels que Gop? La et Hemachandra étendu dessus.

Les premiers mathématiciens islamiques ont ensuite rencontré le modèle à travers les traductions des œuvres mathématiques indiennes pendant le califat abbaside, en particulier du 8e au XIe siècle, lorsque la maison de la sagesse de Bagdad est devenue un centre d’échange universitaire.

Des documents indiens, tels que ceux décrivant les travaux de Virahanka, ont été traduits en arabe, où des chercheurs comme Al-Khalil Ibn Ahmad et plus tard Abu Kamil ont appliqué des principes d’additifs similaires aux problèmes d’algèbre, de géométrie et de combinatoire.

Bien qu’ils n’aient pas utilisé la séquence sous la même forme stylisée et ne l’ont pas nommé, ces mathématiciens ont conservé et étendu la relation sous-jacente de récidive, l’intégrant dans des études plus larges sur les progressions arithmétiques, les modèles de nombres et les calculs pratiques.

L’homme dont la séquence porte le nom est Leonardo de Pise, qui est plus communément appelé Fibonacci.

Fibonacci est une forme raccourcie de la phrase italienne Filius Bonaccisignifiant «fils de Bonacci».

Fibonacci a présenté la séquence des mathématiques occidentales dans son livre 1202 Liber Abaci ou «le livre du calcul». L’objectif principal de l’œuvre était de populariser le système numérique hindou-arabique en Europe, que j’ai couvert dans un épisode précédent, mais il contenait également une grande variété de problèmes mathématiques.

L’un d’eux était un puzzle désormais célèbre sur les populations de lapins.

Voici comment Fibonacci a abordé son célèbre problème de lapin: Supposons que vous commencez avec une paire de lapins nouveau-nés. Chaque mois, chaque paire mature produit une nouvelle paire de lapins. Les lapins mûrissent après un mois, ils peuvent donc se reproduire à partir de leur deuxième mois de vie. Combien de paires de lapins aurez-vous après plusieurs mois?

Au mois 1, vous avez 1 paire (nouveau-nés). Au cours du mois 2, vous avez encore 1 paire (ils ne sont pas encore matures). Au cours du mois 3, votre paire d’origine produit une progéniture, vous avez donc 2 paires. Au mois 4, la paire originale produit un autre ensemble de descendants, et la paire née au mois 3 est maintenant mature, vous avez donc 3 paires. Pouvez-vous voir le modèle émerger?

La séquence va: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… chaque nombre est la somme des deux nombres précédents. Cela est devenu connu sous le nom de séquence Fibonacci.

Pendant des siècles, la séquence n’était guère plus qu’une curiosité dans la théorie des nombres. Il a d’abord été appelé «la séquence de Fibonacci» au 19e siècle par le mathématicien français Édouard Lucas, qui a étudié ses propriétés en profondeur.

Juste avant de dire que la séquence de Fibonacci était liée, fortement liée, au ratio d’or.

Comment ça va?

C’était une relation que Fibonacci lui-même ne réalisait même pas.

Si vous prenez un numéro Fibonacci et le divisez par le numéro Fibonacci précédent, vous obtenez un rapport. Essayons ceci: 13 divisé par 8 équivaut à 1,625. Essayez maintenant 21 divisé par 13, ce qui équivaut à environ 1,615. Continuez: 55 divisé par 34 équivaut à environ 1,618.

Vous voyez ce qui se passe?

À mesure que les chiffres Fibonacci deviennent plus grands, ces ratios se rapprochent de plus en plus du ratio d’or!

Ou pour le dire autrement, à mesure que la séquence de Fibonacci se développe à l’infini, le rapport converge sur le rapport doré.

Le terme «ratio d’or» lui-même est relativement moderne. Les anciens Grecs l’appelaient divers noms, mais le terme spécifique «Sectio Aurea» ou Golden Section a été utilisé pour la première fois par le mathématicien Martin Ohm en 1835.

La lettre grecque? (PHI), utilisé pour représenter le ratio d’or, a été choisi par le mathématicien américain Mark Barr au début des années 1900, probablement en l’honneur du sculpteur grec Phidias, qui a utilisé cette proportion dans ses œuvres.

Il s’est avéré qu’il y a plus que le rapport doré et la séquence de Fibonacci. Il y a aussi quelque chose appelé l’angle doré.

L’angle doré est le plus petit des deux angles qui divisent un cercle selon le rapport doré. Si vous prenez un cercle complet (360 °) et que vous le divisez de sorte que le rapport de l’arc plus grand à l’arc plus petit soit le même que le rapport de l’ensemble du cercle à l’arc plus grand, l’arc plus petit mesure environ 137,5 °.

Le grand mathématicien Blaise Pascal a créé le triangle de Pascal, qui est basé sur la séquence de Fibonacci.

Le triangle de Pascal est un arrangement triangulaire des nombres où chaque nombre est la somme des deux nombres directement au-dessus dans la ligne précédente. Il commence par un seul 1 en haut, puis continue avec des rangées comme 1 1, puis 1 2 1, puis 1 3 3 1, et ainsi de suite. Chaque ligne correspond aux coefficients dans l’expansion binomiale de (a + b)?, En faisant un outil fondamental dans la combinatoire et la théorie de la probabilité.

Ce qui était une curiosité mathématique est devenu quelque chose de beaucoup plus lorsque les gens ont commencé à voir ces chiffres dans la nature. En fait, ils sont apparus partout dans la nature.

La séquence de Fibonacci apparaît si souvent dans la nature car elle émerge naturellement des processus de croissance et d’emballage efficace. Dans de nombreuses plantes et structures biologiques, la croissance se produit en ajoutant de nouveaux éléments, tels que les feuilles, les graines ou les pétales, d’une manière qui maximise l’accès à des ressources comme la lumière du soleil ou l’espace.

Si chaque nouvel élément est placé à un angle constant par rapport à celui précédent, souvent près de l’angle doré d’environ 137,5 °, au fil du temps, le modèle de leur arrangement produit des comptes qui correspondent aux nombres de Fibonacci.

De nombreuses fleurs ont un certain nombre de pétales qui sont un numéro de Fibonacci. Par exemple, les lys ont 3 pétales, les renoncules ont 5, la chicorée en a 21 et les marguerites peuvent avoir 34, 55 ou même 89 pétales. Cet arrangement optimise souvent l’exposition au soleil pour chaque pétale.

Les motifs en spirale dans les têtes de graines de tournesol et les écailles de cône de pin suivent les nombres de Fibonacci. Si vous comptez les spirales incurvées dans une direction, puis dans l’autre, vous obtiendrez souvent deux numéros de Fibonacci consécutifs. Cet emballage maximise le nombre de graines ou d’écailles dans une zone donnée sans gaspillage d’espace.

Le brocoli roman affiche un exemple frappant, avec des spirales dans ses fleurons après des nombres de Fibonacci à plusieurs échelles. Des arrangements en spirale similaires apparaissent dans les ananas.

Le schéma des branches et des feuilles sur de nombreuses plantes suit les règles de Fibonacci, car une nouvelle croissance apparaît souvent sous des angles qui se rapprochent de l’angle doré. Cet arrangement minimise le chevauchement entre les feuilles, maximisant la quantité de capture du soleil.

Certains coquilles, comme le Nautilus, poussent dans une spirale logarithmique qui se rapporte au rapport doré. Même la spirale de la queue d’un caméléon ou les cornes de certains moutons suivent des proportions de croissance similaires.

Même dans les choses non vivantes, il existe des preuves de cette relation.

Des spirales à grande échelle dans la nature, telles que les bandes de nuages d’ouragan et les galaxies en spirale comme la Voie lactée, suivent souvent des spirales logarithmiques liées au rapport doré. Cette forme permet une structure auto-similaire à différentes échelles.

Il ne devrait pas surprendre que les Grecs anciens aient trouvé la «proportion divine» si esthétiquement attrayante.

«Les psychologues et les chercheurs de vision suggèrent que cet attrait peut provenir de la façon dont le rapport apparaît sous des formes naturelles, ce qui le rend familier à notre perception visuelle. Il a un équilibre entre la monotonie de la symétrie parfaite et le chaos des proportions irrégulières.

Dans l’art, le rapport doré a été utilisé, parfois délibérément, parfois par coïncidence, pour créer des compositions avec un sentiment d’harmonie naturelle.

Le Parthénon à Athènes est souvent cité pour ses proportions de façade.

Dans l’éclairage du manuscrit médiéval et de la Renaissance, les dispositions de page et les frontières décoratives reflétaient souvent des proportions proches du ratio d’or, même si les artistes ne l’ont pas consciemment calculé.

Des artistes de la Renaissance comme Leonardo da Vinci ont exploré le rapport dans des œuvres telles que Vitruvien Et peut-être dans Le dernier souper pour positionner les éléments clés.

Sandro Botticelli’s La naissance de Vénus Contient le placement et l’espacement des figures qui approximativement des rectangles dorés.

Dans l’architecture, la façade de la cathédrale de Notre-Dame à Paris et les proportions de la grande mosquée de Kairouan montrent des relations proches du rapport.

Les architectes modernes tels que Le Corbusier l’ont incorporé dans les conceptions de bâtiments pour agréger les relations spatiales, et les photographes encadrent souvent des sujets utilisant des divisions basées sur le rapport doré pour guider l’œil du spectateur.

Au 20e siècle, Salvador Dalí a conçu sa peinture Le sacrement de la dernière souper Dans un rectangle doré, alignant la figure centrale et la géométrie de la composition sur le rapport.

Même les œuvres musicales, telles que les compositions de Béla Bartók, sont structurées de sorte que les moments culminants tombent à des points de rapport doré dans le temps.

La chanson de 2001 latérale par l’outil du groupe était basée sur la séquence de Fibonacci, et elle a été nommée la meilleure chanson du heavy metal du 21e siècle.

Aujourd’hui, la séquence de Fibonacci est étudiée dans la théorie des nombres, la combinatoire, les algorithmes informatiques et la modélisation mathématique, mais il sert également de symbole culturel de la beauté mathématique et de la forme naturelle.

C’est peut-être aussi le meilleur exemple de la façon dont les mathématiques ne sont pas seulement quelque chose qui existe dans l’abstrait ou en théorie. La séquence de Fibonacci, le rapport doré et l’angle d’or sont tous des concepts mathématiques que nous pouvons voir intégrés dans le monde même qui nous entoure.